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三点共线与三线共点的证明方法
一、三点共线的常用证明方法
（一）利用平角180°
例1 如图，点d是等腰直角三角形abc内一点.将△adc绕点c顺时针旋转90°得到△bec，点d的对应点为点e.
（1）如果ad：cd：bd=1：2：3，求证：a，d，e三点共线；
（2）如果a，d，e三点共线，ad，cd，bd满足什么样的关系？
解析：（1）连接de，欲证a、d、e三点共线，只需要证明∠ade=180°，即证∠adc ∠cde=180°.
由旋转，可知：cd=ce，∠dce=90°，ad=be，∠adc=bec，
所以△cde是等腰直角三角形，
所以∠cde=∠ced=45°，
因为ad：cd：bd=1：2：3，
所以可设ad=be=a，cd=2a，bd=3a，
则de=2√2a，
所以be2 de2=a2 8a2=9a2=bd2，
所以∠bed=90°，
所以∠ceb=135°=∠adc，
所以∠ade=135° 45°=180°，
所以a、d、e三点共线；
（2）逆着（1）的思路可知：如果a，d，e三点共线，ad，cd，bd满足的关系是：ad2 2cd2=bd2.
（二）利用平行公理
例2 如图，等边△abc中，d为ab边上一点（点d不与点a、b重合），连接cd，将cd平移到be（其中点b和c对应），将△bcd绕着点b逆时针旋转至△baf，求证：d、f、e三点共线.
解析：连接de，df，欲证d、f、e三点共线，只需要证明de，df平行于同一条直线即可.
由平移可得：be平行且等于cd，
所以四边形bcde是平行四边形，
所以de//bc；
由旋转，得：bf=bd，∠dbf=∠dbc=60°，
所以△bdf是等边三角形，
所以∠bdf=60°=∠dbc，
所以df//bc，
由平行公理可知de、df是同一条直线，
所以d、f、e三点共线.
二、三线共点的常用证明方法
（一）转化为三点共线的证明
例3 如图，菱形abcd中，∠b=60°，p是bc延长线上一点，连接ap.点m是线段ap上的点，满足∠amc=120°，求证：直线ab，cm，pd相交于同一点.
解析：首先设ab、cm相交于点o，连接od，则欲证直线ab，cm，pd相交于同一点，只需要证明o、d、p三点共线即可.
因为四边形abcd是菱形，∠b=60°，
所以△abc和△acd都是等边三角形，
所以∠cad=60°，
即∠cam ∠mad=60°，
因为∠amc=120°，
所以∠cao ∠aco=60°，
所以∠mad=∠aco，
又因为ad//bp，
所以∠mad=∠apc，
所以∠aco=∠apc，
又∠oac=∠acp=120°，
所以△aco∽△cpa，
所以ac：cp=ao：ac，
因为ac=cd=ad，
所以cd：cp=ao：ad，
因为∠oad=∠dcp=60°，
所以△oad∽△dcp，
所以∠oda=∠dpc，
所以∠odp=∠oda ∠adc ∠cdp
=∠dpc ∠dcp ∠cdp
=180°，
所以o、d、p三点共线，
所以直线ab，cm，pd相交于同一点o.
（二）利用同一法则
例4 如图，矩形abcd中，e是bc上的动点，延长eb到f，使bf=be，g为ad的中点，求证：直线ae，bg，df三线共点.
解析：设ae、df相交于点o，连接bo并延长交ad于h，则欲证直线ae，bg，df三线共点，只需要证明bg和bh是同一条直线，即证点h是ad的中点即可.
因为ad//bc，
所以△oah∽△obe，
所以ah：be=oh：ob，
同理，dh：bf=oh：ob，
所以ah：be=dh：bf，
因为be=bf，所以ah=dh，
所以h是ad的中点，
因为g是ad的中点，
所以bh和bg是同一条直线，
所以直线ae，bg，df三线共点.